Evidential Reasoning Rule for Evidence Combination
关键词:Dempster-Shafer theory,Information fusion(信息融合),Evidence Combination,Evidential Reasoning(证据推理)。
ER: evidential reasoning
BPA: basic probability assignment function 基本概率赋值函数
ECR: evidence combination rule
BD: belief distribution (信念分布,不严谨的说等同于概率分布)
WBD: weighted belief distribution
WBDR: weighted belief distribution with reliability
orthogonal sum operation(正交和):
propositions(命题),evidence(证据)。二者的关系:有一些证据,推断命题的真假。
power set(幂集):一个集合所有子集所构成的集合。
1. D-S theory
D-S theory首先由哈佛大学Dempster教授于1967年提出;在1976年由Dempster学生Shafer进一步拓展,形成了D-S theory。由于在证据理论中需要的先验数据比概率推理理论中的更为直观、更容易获得,再加上Dempster合成公式可以综合不同专家或数据源的知识或数据,这使得证据理论在专家系统、信息融合等领域中得到了广泛应用。
先来介绍一个情景,介绍这个理论到底是干啥的。某天夜里,一个小区里发生了一起偷盗案,要找出窃贼是谁。经过一番排查锁定了三个嫌疑人:张三,李华,王五;与此同时还有三个人证:小明说是张三干的,小杰说是李华干的,小雪说是王五干的。问如何利用这三个证词找出窃贼?
上述案例中的三个嫌疑人构成了一个集合Θ={θ1,θ2,θ3},称集合Θ为一个辨识框架(a framework of discernment),θi被称为一个命题(proposition)或者假设(hypothesis)。这些命题需要满足mutually exclusive and collectively exhaustive principle(相互独立、完全穷尽原则,简称MCME)。单个命题通常称为 singleton。
三个人证对应三个基本概率赋值函数(BPA),针对Θ中每个子集(subset)概率赋值函数(也称为mass函数)需要给出一个值,表明这个子集对最终答案的信念度( degree of belief)。
在Θ上的基本概率赋值函数 m 定义如下:
m(\empty)=0,∑θ∈2Θ=1集合Θ的幂集:2Θ 或者记为 P(Θ)。可知:θ∈2Θ⇔θ⊆Θ。
当有多个概率赋值函数时,就需要考虑如何对其进行结合。
2. Typical Evidence Combination Rules
2.1 Dempster’s rule
假设有 2 个概率赋值函数 m1,m2,关于某一命题θ,Dempeter’s rule定义融合规则如下:
m1⊕m2=∑B∩C≠\emptym1(B)m2(C)1−∑B∩C=\emptym1(B)m2(C)